Opmerkingen over de grondslagen van de wiskunde

Remarks on the Foundations of Mathematics (Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik) is geen boek dat Wittgenstein zelf afwerkte. Het is een selectie, gemaakt na zijn dood, uit schriften en typoscripten van 1937 tot 1944, de jaren waarin hij ook aan de Philosophical Investigations werkte. De bezorgers, G.H. von Wright, Rush Rhees en Elizabeth Anscombe, gaven het in 1956 uit, met Anscombes Engelse vertaling naast de Duitse tekst.

Het onderwerp is niet de wiskunde zelf, maar het beeld dat we ervan hebben. Wittgenstein bewijst geen stellingen en bouwt geen nieuw fundament. Hij vraagt wat we eigenlijk doen als we rekenen, bewijzen en een regel volgen, en waarom het zo verleidelijk is te denken dat getallen in een eigen rijk bestaan, klaar om ontdekt te worden.

Hoe het boek ontstond

Vanaf eind jaren 1930 vulde Wittgenstein schrift na schrift met opmerkingen over bewijs, berekening, tegenspraak en logische noodzaak. Veel van het eerste deel komt uit een typoscript van 1938 dat ook een vroege versie van het begin van de Investigations bevat. In 1939 gaf hij in Cambridge colleges over dezelfde thema's, met onder meer Alan Turing in de zaal. Die colleges, gereconstrueerd uit studentennotities, verschenen in 1976 als Lectures on the Foundations of Mathematics, bezorgd door Cora Diamond.

De eerste uitgave van 1956 telde vijf delen. In de jaren 1970 volgde een herziene en uitgebreide editie (de Engelse in 1978) met zeven delen en passages die de eerste bezorgers hadden weggelaten. Het artikel over zijn filosofie van de wiskunde in de Stanford Encyclopedia beschrijft precies welke manuscripten gebruikt werden.

Wat er in staat

Een paar gedachten komen steeds terug.

• Een bewijs maakt een nieuwe regel. Een bewijs meldt geen feit over een abstract ding. Het brengt ons ertoe een nieuwe maatstaf aan te nemen voor wat als juist geldt. Na het bewijs gebruiken we de uitkomst als norm.
• Wiskunde wordt uitgevonden, niet ontdekt. Wittgenstein is een uitgesproken anti-platonist. Wiskundige zinnen zijn voor hem grammaticale regels, geen beschrijvingen.
• Regels vragen om praktijk. Veel bekende passages over regels volgen staan hier al: de leerling die de reeks "tel er 2 bij" na 1000 op een onverwachte manier voortzet, en de vraag wat de ene voortzetting juist maakt.
• Tegenspraak is minder eng dan logici denken. Waarom zou een verborgen tegenspraak in een rekensysteem een ramp zijn als niemand er ooit op stuit? Daarover discussieerde hij in 1939 met Turing.
• Wantrouwen tegenover het oneindige. Hij bekritiseert de verzamelingenleer en het diagonaalbewijs van Cantor, en ziet oneindigheid als een kenmerk van een regel, niet als een afgewerkt geheel.

Een appendix bij het eerste deel bevat de opmerkingen over de onvolledigheidsstelling van Gödel, zonder Gödel bij naam te noemen. Het zijn de meest omstreden bladzijden van het boek.

Hoe lees je het

Dit is het moeilijkste van de latere boeken. De opmerkingen zijn compact, herhalen zich en spreken elkaar soms tegen, omdat Wittgenstein aan het zoeken is. Je hebt wat gevoel voor elementaire logica en rekenkunde nodig, en veel geduld. Neem de herziene editie (Blackwell 1978, als paperback bij MIT Press). Door de tweetalige opmaak kun je het Duits naast de vertaling leggen. Een volledige Nederlandse vertaling is er, voor zover bekend, niet.

Begin bij voorkeur met de colleges van 1939: die behandelen hetzelfde terrein in gespreksvorm, met Turing die tegengas geeft. Lees daarna het eerste deel van de Remarks, en ga dan naar Filosofische onderzoekingen §§185-242 om te zien waar het materiaal terechtkwam.

Ontvangst

De eerste recensies waren streng. Michael Dummett las Wittgenstein als een radicale conventionalist, Paul Bernays had bezwaren tegen zijn kijk op bewijs, en Georg Kreisel deed het boek af als een zwak product van een briljante geest (later nuanceerde hij dat). De opmerkingen over Gödel werden algemeen gezien als een misverstand. Sinds 2000 verdedigen Juliet Floyd en Hilary Putnam dat Wittgenstein Gödel beter begreep dan zijn critici dachten, maar die lezing blijft omstreden. Vandaag lezen vooral filosofen het boek, en de passages over regels hebben meer invloed gehad dan de stellingen over wiskunde.

Oordeel

Lees dit als je de latere opvatting over betekenis al kent en wilt zien hoe ze standhoudt in het moeilijkste geval: de schijnbare noodzaak van 2 + 2 = 4. Niet geschikt als eerste kennismaking. De inzichten zijn echt, maar je moet ernaar graven, en sommige uitspraken over Gödel en de verzamelingenleer zijn op zijn minst betwistbaar.